Hợp lý cực đại

Cho một mẫu gồm n giá trị được đo ki chúng ta muốn ước lượng giá trị của tham số λ của tập hợp phân phối Poisson mà từ đó mẫu này được rút ra. Để tính giá trị hợp lý cực đại (maximum likelihood), ta tạo ra hàm log-likelihood

L ( λ ) = ln ⁡ ∏ i = 1 n f ( k i ∣ λ ) {\displaystyle L(\lambda )=\ln \prod _{i=1}^{n}f(k_{i}\mid \lambda )\!} = ∑ i = 1 n ln ( e − λ λ k i k i ! ) {\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}\ln \!\left({\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k_{i}}}{k_{i}!}}\right)\!} = − n λ + ( ∑ i = 1 n k i ) ln ⁡ ( λ ) − ∑ i = 1 n ln ⁡ ( k i ! ) . {\displaystyle =-n\lambda +\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)\ln(\lambda )-\sum _{i=1}^{n}\ln(k_{i}!).\!}

Lấy đạo hàm của L theo λ và cho nó bằng 0:

d d λ L ( λ ) = 0 ⟺ − n + ( ∑ i = 1 n k i ) 1 λ = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}L(\lambda )=0\iff -n+\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right){\frac {1}{\lambda }}=0\!}

Giải tìm λ sẽ cho ta ước lượng hợp lý cực đại của λ:

λ ^ M L E = 1 n ∑ i = 1 n k i . {\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}.\!}

Vì mỗi quan sát có kì vọng λ theo ý nghĩa của mẫu. Vì thế nó là một ước lượng không lệch của λ.

Suy luận Bayes

Trong suy luận Bayes, tiên nghiệm liên hợp (conjugate prior) cho tham số λ của phân phối Poisson là phân phối Gamma. Nếu

λ ∼ G a m m a ( α , β ) {\displaystyle \lambda \sim \mathrm {Gamma} (\alpha ,\beta )\!}

đại diện cho λ được phân phối theo mật độ Gamma g' được tham số hóa theo một tham số hình dạng (shape parameter) α và một tham số tỉ lệ (scale parameter) nghịch đảo β:

g ( λ ∣ α , β ) = β α Γ ( α ) λ α − 1 e − β λ for   λ > 0 . {\displaystyle g(\lambda \mid \alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\;\lambda ^{\alpha -1}\;e^{-\beta \,\lambda }\qquad {\mbox{for}}\ \lambda >0\,\!.}

Thì, nếu cho cùng một mẫu gồm n giá trị được đo ki như ở trên, và một tiên nghiệm của Gamma(α, β), thì phân phối hậu nghiệm (posterior distribution) là

λ ∼ G a m m a ( α + ∑ i = 1 n k i , 1 1 β + n ) . {\displaystyle \lambda \sim \mathrm {Gamma} (\alpha +\sum _{i=1}^{n}k_{i},{\frac {1}{{\frac {1}{\beta }}+n}}).\!}